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基本積分公式 基礎反導數 $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}+C$ 若$n=-1$ : $ln|x| + C$ $\int e^x dx = e^x+C$ $\int a^x dx = a^x ln a +C$ $\int \sin xdx = -\cos x+C$ $\int \cos xdx = \sin x+C$ $\int \tan xdx = -ln | \cos x | +C$ $\int \cot xdx = ln | \sin x | +C$ $\int \sec xdx = ln | \sec x + \tan x | +C$ $\int \csc xdx = ln | \csc x - \cot x | +C$ $\int \sec x \tan x dx = \sec x +C$ $\int \csc x \cot x dx = -\csc x +C$ $\int \sec^2 xdx = \tan x +C$ $\int \csc^2 xdx = -\cot x +C$ $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\frac{x}{a} +C$ $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{a} +C$ $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = ln | x + \sqrt{x^2+a^2} | +C$ $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = ln | x + \sqrt{x^2-a^2} | +C$ 參數式、極座標 面積 直角坐標系 : 假設[a, b] 之間為連續，則與X軸圍出的面積有以下定義 $$ A = \int_a^b f(x) dx $$ 參數式 : 假設 $x=\phi (t),\quad y=\psi (t)$, 則曲線在$t_1$ 至 $t_2$ 之間與X軸圍的面積的面積為 $$ A = \int_{t_1}^{t_2} ydx = \int_{t_1}^{t_2} \psi (t) \phi^{\prime} (t)dt $$ 極座標 : 假設 $r=\phi(\theta)$，極座標方程式在上下界內會與兩條射線圈出一個扇形 $$ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \phi^2(\theta) d\theta $$ 極座標兩曲線所夾面積 : 假設 $r_1=f(\theta),\quad r_2=g(\theta)$ $$ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} (r_1^2 - r_2^2) d\theta $$ 弧長 直角坐標系 : 求[a, b]之間弧長 $$ L = \int_a^b \sqrt{1 + (y^{\prime})^2} dx $$ 參數式 : 假設 $x = f(t),\quad y=g(t),\quad t$ 經過一區間之弧長 $$ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(f^{\prime}(t))^2 + (g^{\prime}(t))^2} d\theta $$ 極座標 : 假設 $r=r(\theta),\quad \alpha\leq\theta\leq\beta$ $$ s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(r(\theta))^2 + (r^{\prime}(\theta))^2} d\theta $$ 體積 切面繞特定軸旋轉 $$ V = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{i=1}^n A(x_i) \Delta x = \int_a^b A(x)dx $$ 沿著旋轉軸方向積分(上/下挖空) $$ V = \int_a^b \pi (f(x))^2 dx $$ 沿著切面擴散方向積分(空心體) $$ V = \int_a^b 2\pi x (f(x)-g(x)) dx $$ 表面積 直角坐標系 : 假設繞X軸旋轉 $$ S = 2\pi \int_a^b f(x) dx $$ 參數式 : 假設曲線繞X軸旋轉一周之區間 $$ S = 2\pi y(t) \sqrt{(x^{\prime}(t))^2 + (y^{\prime}(t))^2} dt $$ 極座標 : 假設曲線繞X軸旋轉一周之區間 $$ S = 2\pi r\sin \theta \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta $$ 數列、級數 各種收斂檢定 Integral Test : 若在定義區間內連續、正值、遞減，則將通項化為函數後作瑕積分 : $$ \int_N^{\infty} f(x) dx, \\ \int_{n+1}^{\infty} f(x)dx \leq R_n \leq \int_n^{\infty} f(x)dx $$ Comparison Test : 與另一個正項級數作比較 收斂 : $\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n,\quad a_n\leq c_n$ 發散 : $\sum\limits_{n=1}^{\infty} d_n,\quad a_n\geq d_n$ Ratio Test : 令 $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=r$ 收斂 : $r<1$ 發散 : $r>1$ Root Test : 與Ratio Test類似，不過是取 $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=r$ 絕對收斂、條件收斂(交錯級數) 絕對收斂審歛法 : 若絕對收斂則收斂 Rieman Rearrangement throrem : 必有一個重組使得條件收斂之數列收斂/發散 Power Series 逐項微分定理 $$ f^{\prime}(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} nc_n (x-a)^{n-1} $$ 一些常見的函數轉羃級數 : ...