A Quick Note on Calculus 2 Formulas

基本積分公式#

基礎反導數#

$\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}+C$ $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
- 若 $n=-1$ : $ln\|x\| + C$
$\int e^x dx = e^x+C$
$\int a^x dx = a^x ln a +C$
$\int \sin xdx = -\cos x+C$
$\int \cos xdx = \sin x+C$
$\int \tan xdx = -ln \| \cos x \| +C$
$\int \cot xdx = ln \| \sin x \| +C$
$\int \sec xdx = ln \| \sec x + \tan x \| +C$
$\int \csc xdx = ln \| \csc x - \cot x \| +C$
$\int \sec x \tan x dx = \sec x +C$
$\int \csc x \cot x dx = -\csc x +C$
$\int \sec^2 xdx = \tan x +C$
$\int \csc^2 xdx = -\cot x +C$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\frac{x}{a} +C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{a} +C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = ln \| x + \sqrt{x^2+a^2} \| +C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = ln \| x + \sqrt{x^2-a^2} \| +C$

參數式、極座標#

面積#

直角坐標系 : 假設[a, b] 之間為連續，則與X軸圍出的面積有以下定義

A = \int_a^b f(x) dx

參數式 : 假設 $x=\phi (t),\quad y=\psi (t)$ , 則曲線在 $t_1$ 至 $t_2$ 之間與X軸圍的面積的面積為

A = \int_{t_1}^{t_2} ydx = \int_{t_1}^{t_2} \psi (t) \phi^{\prime} (t)dt

極座標 : 假設 $r=\phi(\theta)$ ，極座標方程式在上下界內會與兩條射線圈出一個扇形

A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \phi^2(\theta) d\theta

極座標兩曲線所夾面積 : 假設 $r_1=f(\theta),\quad r_2=g(\theta)$

A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} (r_1^2 - r_2^2) d\theta

弧長#

直角坐標系 : 求[a, b]之間弧長

L = \int_a^b \sqrt{1 + (y^{\prime})^2} dx

參數式 : 假設 $x = f(t),\quad y=g(t),\quad t$ 經過一區間之弧長

L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(f^{\prime}(t))^2 + (g^{\prime}(t))^2} d\theta

極座標 : 假設 $r=r(\theta),\quad \alpha\leq\theta\leq\beta$

s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(r(\theta))^2 + (r^{\prime}(\theta))^2} d\theta

體積#

切面繞特定軸旋轉

V = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{i=1}^n A(x_i) \Delta x = \int_a^b A(x)dx

沿著旋轉軸方向積分(上/下挖空)

V = \int_a^b \pi (f(x))^2 dx

沿著切面擴散方向積分(空心體)

V = \int_a^b 2\pi x (f(x)-g(x)) dx

表面積#

直角坐標系 : 假設繞X軸旋轉

S = 2\pi \int_a^b f(x) dx

參數式 : 假設曲線繞X軸旋轉一周之區間

S = 2\pi y(t) \sqrt{(x^{\prime}(t))^2 + (y^{\prime}(t))^2} dt

極座標 : 假設曲線繞X軸旋轉一周之區間

S = 2\pi r\sin \theta \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta

數列、級數#

各種收斂檢定#

Integral Test : 若在定義區間內連續、正值、遞減，則將通項化為函數後作瑕積分 :

\int_N^{\infty} f(x) dx, \\\\ \int_{n+1}^{\infty} f(x)dx \leq R_n \leq \int_n^{\infty} f(x)dx

Comparison Test : 與另一個正項級數作比較
- 收斂 : $\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n,\quad a_n\leq c_n$
- 發散 : $\sum\limits_{n=1}^{\infty} d_n,\quad a_n\geq d_n$
Ratio Test : 令 $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=r$ $n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = r$
- 收斂 : $r<1$
- 發散 : $r>1$
Root Test : 與Ratio Test類似，不過是取 $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=r$
絕對收斂、條件收斂(交錯級數)
- 絕對收斂審歛法 : 若絕對收斂則收斂
Rieman Rearrangement throrem : 必有一個重組使得條件收斂之數列收斂/發散

Power Series#

逐項微分定理

f^{\prime}(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} nc_n (x-a)^{n-1}

一些常見的函數轉羃級數 :

幾何級數 : $\frac{1}{1 - x}= \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n,\quad |x| < 1$
交錯幾何級數 : $\frac{1}{1 + x}= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n,\quad |x| < 1$
二項式展開 : $(1 + x)^\alpha = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n,\quad \binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},\quad |x| < 1$ $(1 + x)^{α} = n = 0 \sum \infty (n α) x^{n}, (n α) = \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !}, ∣ x ∣ < 1$
- $\alpha = -1/2$ : $(1 + x)^{-1/2}= \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}\,x^n,\quad |x|<1$
$e^x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb{R}$
$\ln(1 + x)= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},\quad |x| < 1$
$\sin x= \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb{R}$
$\cos x= \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb{R}$
$\arctan x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x| \le 1, x\neq \pm i$
$\arcsin x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1},\quad |x| \le 1$
$\sinh x= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb{R}$
$\cosh x= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb{R}$
$\tanh^{-1} x= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1$

Taylor級數、多項式#

用來求級數展開的各項係數 $c_n$

f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n\!} (x-a)^n

若在 $a=0$ 時的情況，則可以視為Maclaurin級數

Taylor定理 : 在開區間連續的情形可使

f(x) = f(a) + f^{\prime}(a)(x-a) + \cdots + \frac{f^{(n)} a}{n\!}(x-a)^n + R_n(x),\quad R_n(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)\!} (x-a)^{n+1}

1
- 若存在M使 $\| f^{(n+1)}(t) \| \leq M$, 則可以推得 $\| R_n(x) \| < M \frac{\| x-a \|^{n+1}}{(n+1)\!}$
2
- 若滿足上述條件，且滿足Taylor定理，則此級數收斂到$f(x)$

Application of Power Series#

誤差估計 : Taylor不等式

\| f^{(n+1)}(x) \| \leq M,\quad\Rightarrow\quad \| R_n(x) \| \leq \frac{M}{(n+1)\!} \| x-a \|^{n+1}

Euler公式

e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta,\quad e^{i\pi} = -1

向量#

基本定義#

極限 : 假設存在向量 $\mathbf v=\langle v_1,v_2,v_3\rangle$ ，對任意 $\varepsilon>0$ 都有 $\delta>0$ 使得

0<|t-a|<\delta,\quad \|\mathbf r(t)-\mathbf v\|<\varepsilon,\quad\Rightarrow \lim\limits_{t\to a}\mathbf r(t)=\mathbf v

連續 : 同時滿足 $a$ 在函數的定義域，且 $\displaystyle\lim_{t\to a}\mathbf r(t)=\mathbf r(a)$
分量極限等價性 :

\lim\limits_{t\to a}\mathbf r(t)=\Bigl\langle \lim\limits_{t\to a}f(t),\lim\limits_{t\to a}g(t),\lim\limits_{t\to a}h(t)\Bigr\rangle

積分 : 對每個分量作積分

\int_a^b\mathbf r(t)=\Bigl\langle \int_a^bf(t)dt,\int_a^bg(t)dt,\int_a^bh(t)dt\Bigr\rangle

弧長

L = \int_C ds = \\\\ \int_C \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2} = \\\\ \int_a^b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt = \\\\ \int_a^b \| \mathbf v^{\prime} (t) \| dt

單位切向量

\mathbf T = \frac{\mathbf v^{\prime}}{\| \mathbf v^{\prime} \|} = \frac{d\mathbf r}{ds}

單位法向量

\mathbf N(t) = \frac{\mathbf T^{\prime}(t)}{\| \mathbf T^{\prime}(t) \|},\quad \mathbf B(t) = \mathbf T(t) \times \mathbf N(t)

N與B可生成法平面

曲率

\kappa = \left| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right|, \\\\ \kappa = \frac{1}{|\mathbf{v}|} \left| \frac{d\mathbf{T}}{dt} \right|

可以分成三種情況(空間、參數式、函數) :

\kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}, \\\\ \kappa(x) = \frac{|x'y'' - y'x''|}{\left((x')^2 + (y')^2\right)^{3/2}}, \\\\ \kappa(x) = \frac{|f''(x)|}{\left[1 + (f'(x))^2\right]^{3/2}}

1
- Frenet-Serret

\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa \mathbf{N},\quad \frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\kappa \mathbf{T} + \tau \mathbf{B},\quad \frac{d\mathbf{B}}{ds} = -\tau \mathbf{N}

偏導數#

基本定義#

多變數極限 : $\mathbb{R}^2$

0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - L| < \varepsilon

1
- 在該點與函數形成的平面上只要任一曲線逼近之極限不相同則視為極限不存在

偏導數

f_x(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a, b)}{h}, \\\\ f_y(a, b) = \lim_{k \to 0} \frac{f(a, b + k) - f(a, b)}{k}

高階偏導數

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)

1
- Clairaut定理 : 假如所有偏導組合都連續，則偏導順序可交換

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

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